投影矩阵的推导

上篇文章做了视图矩阵的推导过程，实际上就是把物体的坐标转化成摄像机的相对坐标，之后呢需要把三维空间中的物体映射到二维平面上，这里就需要投影矩阵来实现。

投影矩阵一般有两种，一种是正交投影，还有一种是透视投影

正交投影

正交投影由于没有近大远小的特性，常用于显示在三维空间中的 2D 视图，比如，房子的顶面 2D 视图等。

正交相机一般有 6 个参数，分别是 left、right、bottom、top、near、far。 这 6 个参数就可以构成空间中的一个立方体，正交投影做的事也很简单，把空间中的立方体移动到原点为中心且 (x, y, z) 都缩放到 [-1, 1] 的立方体中。

为什么要这么做呢？很简单，要投影 left-right 的物体，那对于屏幕来说，中间点就是 left + right / 2, 所以要放到中间点。缩放到【-1， 1】主要是为了后面再放大到屏幕坐标上。

根据上面的分析，很容易得到正交投影的平移矩阵:

$$M_{translate}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{l+r}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{top+bottom}{2}\\ 0& 0& 1& -\frac{near+far}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
M_{translate} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{l+r}{2} \
0 & 1 & 0 & -\frac{top+bottom}{2}\
0 & 0 & 1 & -\frac{near+far}{2}\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

然后缩放矩阵:

$$M_{scale}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{top-bottom}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{near-far}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
M_{scale} = \begin{bmatrix}
\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \
0 & \frac{2}{top-bottom} & 0 & 0 \
0 & 0 & \frac{2}{near-far} & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

最后的矩阵结果：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M}& {\displaystyle =M_{scale}{M}_{translate}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{top-bottom}& 0& -\frac{top+bottom}{top-bottom}\\ 0& 0& \frac{2}{near-far}& -\frac{near+far}{near-far}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}\end{array}$$
\begin{aligned}
M &= M_{scale}M_{translate}\
&= \begin{bmatrix}
\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \
0 & \frac{2}{top-bottom} & 0 & -\frac{top+bottom}{top-bottom} \
0 & 0 & \frac{2}{near-far} & -\frac{near+far}{near-far} \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}

透视投影

透视投影实际上就是，先把视锥体，压成长方体，然后执行一次正交投影的方法，把长方体的投影到[-1, 1] 上。

首先，在压的过程中，会有两个特性：

1. 远平面 f 所在平面变换完还在 f 平面
2. 近平面 n 所在平面的点转换完还在 n 平面

然后算远平面（f）的点， 根据相似三角形的特性$n / f = y'/y$，所以 $y' = \frac{n}{f}y$,

所以可以推导：

$$M\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ f\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{n}{f}x\\ \frac{n}{f}y\\ f\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ f^2\\ f\end{array}\right]$$
M * \begin{bmatrix}
x\y\f\1\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{n}{f}x\\frac{n}{f}y\f\1\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
nx\ny\f^2\f
\end{bmatrix}

这样就可以推导出矩阵的部分内容。

$$M=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& ?& ?\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
M = \begin{bmatrix}
n & 0 & 0 & 0\
0 & n & 0 & 0\
0 & 0 & ? & ? \
0 & 0 & 1 & 0\
\end{bmatrix}

为什么有两个问好推导不了呢，因为 有可能第一个数是 f，第二个数是 0，也可能第一个数是 0，第二个数是 $f^2$.

那根据第二个性质，我们可以得出 (x, y, z) ⇒ 还是 (x, y, z)。

所以:

$$M\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ n\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ n\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ n^2\\ n\end{array}\right]$$
M *\begin{bmatrix}
x\y\n\1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x\y\n\1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
nx\ny\n^2\n
\end{bmatrix}

这样也能推出：

$$M=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& ?& ?\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
M = \begin{bmatrix}
n & 0 & 0 & 0\
0 & n & 0 & 0\
0 & 0 & ? & ? \
0 & 0 & 1 & 0\
\end{bmatrix}

假设 M[3,3] = A, M[3,4] = B。

所以有两个公式可以得出：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Af+B}& {\displaystyle =f^2}\\ {\displaystyle An+B}& {\displaystyle =n^2}\end{array}$$
\begin{aligned}
Af+B &= f^2\
An+B &= n^2
\end{aligned}

解:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle =f+n}\\ {\displaystyle B}& {\displaystyle =-nf}\end{array}$$
\begin{aligned}
A &= f + n\
B &= -nf
\end{aligned}

得到矩阵:

$$M=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& f+n& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
M = \begin{bmatrix}
n & 0 & 0 & 0\
0 & n & 0 & 0\
0 & 0 & f+n & -nf \
0 & 0 & 1 & 0\
\end{bmatrix}

最后再应用正交矩阵即可得到最后的矩阵:

$$M=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& -\frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& -\frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& \frac{n+f}{n-f}& -\frac{2nf}{n-f}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
M = \begin{bmatrix}
\frac{2n}{r-l} & 0 & -\frac{r+l}{r-l} & 0\
0 & \frac{2n}{t-b} & -\frac{t+b}{t-b} & 0\
0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & -\frac{2nf}{n-f}\
0 & 0 & 1 & 0\
\end{bmatrix}

然后 $t = -n$tan(fov/2)t=−n∗tan(fov/2) , 这里 n 是负数, 所以要乘 -1。同理 $b = n$tan(fov/2)。

因为宽高比是 aspect, 所以:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r}& {\displaystyle =-n\ast aspect\ast tan(fov\mathrm{/}2)}\\ {\displaystyle l}& {\displaystyle =n\ast aspect\ast tan(fov\mathrm{/}2)}\end{array}$$
\begin{aligned}
r &= -n * aspect * tan(fov/2)\
l &= n * aspect * tan(fov/2)
\end{aligned}

带入得到实际用的矩阵:

$$M=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{1}{aspect\ast tan(fov\mathrm{/}2)}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{tan(fov\mathrm{/}2)}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{n+f}{n-f}& -\frac{2nf}{n-f}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
M = \begin{bmatrix}
-\frac{1}{aspect*tan(fov/2)} & 0 & 0 & 0\
0 & -\frac{1}{tan(fov/2)} & 0 & 0 \
0 &0 &\frac{n+f}{n-f} & -\frac{2nf}{n-f}\
0 & 0 & 1 & 0\
\end{bmatrix}